Прибутковість портфеля цінних паперів

Припустимо, що інвестори вимірюють свої доходи від цінних паперів у вигляді відсотка від величини початкових витрат. Тоді очікувана прибутковість (норма прибутку) i -й цінного паперу може бути обчислена за такою формулою:

де - норма прибутку на i -ю папір,%; - прогноз майбутньої ринкової вартості цінного паперу в кінці аналізованого періоду з урахуванням дивідендів; - розмір початкових інвестицій.

Очікувана прибутковість портфеля, як уже зазначалося, може бути розрахована як середньозважена величина з індивідуальних оцінок прибутковості входять в портфель цінних паперів (активів):

де - очікувана прибутковість портфеля; - частка витрат, інвестованих в цінний папір г; п - число цінних паперів (активів) в портфелі.

Проілюструємо розрахунок очікуваної прибутковості інвестиційного портфеля, використовуючи для цього дані, наведені в табл. 3.8.

Припустимо, що очікувана прибутковість цінних паперів, що входять в портфель, складе А - 16,2; В - 24,6; С - 22,8%.

тоді

Таблиця 3.8

Портфель цінних паперів

Цінні папери

Кількість цінних паперів у портфелі, шт.

Початкова ринкова ціна одного цінного паперу, ден. од.

Сума інвестицій, ден. од.

А

100

40

4000

В

200

35

7000

З

100

62

6200

Початкова вартість портфеля, ден. од.

17200

З наведеного розрахунку слід, що інвестор, який поставив перед собою мету - максимізацію прибутковості, - повинен, здавалося б, включити в свій портфель тільки один вид активу, що характеризується найвищою ефективністю (в нашому прикладі - цінні папери В). Однак такий екстремальний підхід, зовсім ігнорує аргумент (показник) ризику, навряд чи можна вважати практично прийнятним, так як в реальній дійсності спостерігається закономірність зростання рівня ризикованості цінних паперів зі зростанням їхньої прибутковості (тобто має місце пряма залежність між цими двома характеристиками цінних паперів). Тому більшість інвесторів прагнуть диверсифікувати свій портфель (не складати яйця в одну корзину), знижуючи тим самим ризик від втрати своїх коштів при здійсненні портфельних інвестицій.

Загальноприйнятою для інвесторів мірою ризику, пов'язаної з кожної цінним папером, служить розкид (варіація) доходів за цінними паперами щодо очікуваних але ним рівнями доходів. Як показник варіації - ступеня ризику портфельних інвестицій найбільш часто використовується показник середньоквадратичного відхилення [1] (Дисперсії). У той час як очікувана прибутковість портфеля являє собою зважену середню доходностей окремих цінних паперів, його складових, невизначеність, пов'язана з будь-яким портфелем, що складається з декількох цінних паперів, нс може бути виміряна простим середньозваженими значенням їх окремих среднеквадратических відхилень (або дисперсій).

Цей результат був би правильним, якщо б ціни на акції і, відповідно, їх прибутковості змінювалися в абсолютно однаковому напрямку - при зростанні однієї акції точно так же вела б себе і інша акція. Насправді, як правило, справа йде інакше, тому ризик портфеля не є виваженою середньої среднеквадратических відхилень індивідуальних акцій в портфелі.

Невизначеність портфеля залежить від ступеня, в якій доходи по кожній парі цінних паперів змінюються спільно. Портфелі, що складаються з ланцюгових паперів, на які впливають одні й ті ж фактори, більш ризиковані, ніж ті комбінації цінних паперів, в яких на різні цінні папери впливають різні чинники. Розрахунок середньоквадратичного відхилення портфеля як простого середньозваженого з среднеквадратических відхилень але всіма цінними паперами, що входять в портфель, означав би ігнорування цього взаємозв'язку, або ковариации, доходностей цінних паперів, до речі, не надає впливу на величину очікуваної прибутковості портфеля.

У загальному випадку коефіцієнт коваріації характеризує залежність двох випадкових величин х і у і розраховується за формулою , Тобто як середнє арифметичне з творів відхилень випадкових величин х і у від своїх середніх х і . Для розглянутого прикладу позитивне значення коваріації показує, що прибутковості двох цінних паперів мають односпрямовану тенденцію зміни.

Негативний коефіцієнт коваріації означає, що аналізовані прибутковості мають тенденцію компенсувати один одного. Наприклад, найкраща, ніж очікувалася, прибутковість одного цінного паперу супроводжується, як правило, гіршої, ніж очікувалася, прибутковістю іншого. Нульове (або близьке до нульового) значення коефіцієнта коваріації означає відсутність або дуже слабку взаємозалежність між прибутковістю відповідних цінних паперів.

Розуміння суті розрахунку середньоквадратичного відхилення прибутковості портфеля призводить до дивного висновку. Ризикованість портфеля залежить не стільки від ризикованості окремих цінних паперів, скільки від ковариации попарних їх комбінацій. Це означає, що поєднання ризикованих окремо цінних паперів може являти собою портфель із середнім і навіть малим ризиком, якщо динаміка прибутковості цінних паперів не "пов'язана жорстко" між собою. В цілому низька ковариация забезпечує низький рівень ризику всього портфеля.

Середньоквадратичне відхилення доходностей для інвестиційного портфеля в цілому σ Ρ розраховується як зважена сума ковариаций всіх пар акцій в портфелі, де кожна ковариация зважена на твір ваг кожної пари відповідних акцій, а ковариация акції з самою собою являє дисперсію даної акції. У загальному випадку обчислення стандартного відхилення портфеля, що складається з п цінних паперів, вимагає подвійного підсумовування п цінних паперів, для чого необхідно скласти п 2 членів:

де n - загальна кількість різних цінних паперів в портфелі; , - частка коштів інвестована відповідно в цінні папери i і j; - коваріація доходностей цінних паперів i і j.

Таким чином, загальний ризик портфеля залежить:

• 1) від відносної частки кожного цінного паперу в інвестиційному портфелі;
• 2) величини їх відносних дисперсій або среднеквадратических відхилень;
• 3) тісноти зв'язку між рівнями їх доходностей.

Основоположником даної "портфельної теорії" є лауреат Нобелівської премії з економіки (1990 р) Гаррі Марковіц

[2]

. У центрі уваги стратегії диверсифікації Марковіца знаходиться, як це випливає з усього вищесказаного, рівень коваріації доходностей активів портфеля. Ключовий внесок Марковіца полягає в постановці питання про ризик активів як складових єдиного портфеля, а не окремо взятих одиниць. Дана стратегія, прагнучи до максимально можливого зниження ризику при збереженні необхідного рівня прибутковості, полягає у виборі таких активів, прибутковості яких мали можливо меншу позитивну кореляцію. Саме облік взаємної кореляції доходностей активів з метою зниження рівня портфельного ризику відрізняє стратегію диверсифікації Марковіца від стратегії звичайної (наївною) диверсифікації.

Алгоритм диверсифікації портфеля активів з урахуванням кореляції доходностей складових його цінних паперів розглянемо на прикладі оптимізації структури портфеля, що містить в стартовому варіанті три акції А, В, С з відповідними питомою вагою в загальній вартості портфеля:

Прибутковість розглянутих цінних паперів представлена ​​в табл. 3.9.

Таблиця 3.9

прибутковість акцій

акція

Прибутковість,%, в моменти часу

t = 1

t = 2

t = 3

t = 4

t = 5

А

9,6

10,1

11,4

11,7

12,2

В

14,2

15,9

15,3

14,1

15,5

З

7,9

8,2

6,8

8,7

8,4

п

12,8

11,3

11,9

12,4

11,6

Для знаходження зв'язку між прибутковістю кожної акції розрахуємо ковариацию (кореляцію) кожної пари акції по формулі [3]

і ковариацию акції з самою собою

Примітка. При обчисленні середніх арифметичних величин з і значень змінних передбачається, що всі п значень - незалежні. В цьому випадку їх середнє арифметичне величини знаходяться діленням суми п значень відповідних змінних на число п. При обчисленні ж ковариации використовуються, як відомо, значення середніх величин, які в свою чергу залежать від вихідних значень відповідних змінних. У цьому випадку одна ступінь свободи втрачається і середня арифметична з творів відхилень випадкових величин x і у від своїх середніх і знаходиться діленням на (п - 1), а не на п.

При проведенні практичних розрахунків відповідні коефіцієнти коваріації доцільно записувати у вигляді так званої ковариационной матриці, яка для розглянутого нами прикладу має такий вигляд (на головній діагоналі матриці розташовуються дисперсії прибутковості цінних паперів):

Маючи в своєму розпорядженні тепер необхідною інформацією, розрахуємо ступінь ризику для даного інвестиційного портфеля:

Сформуємо тепер новий портфель, замінивши акцію А па акцію D, залишивши її частку колишньої, тобто .

Використовуючи дані, представлені в табл. 3.9, розрахуємо відповідну нових умов нову матрицю коваріації доходностей:

Ризик таким чином диверсифікованого портфеля (13,2%), тобто в п'ять разів нижче попереднього. Це пояснюється зниженням (порівняно з акцією А) кореляції доходностей акцій D і С, а також наявністю негативної ковариации по доходностям активів D і В. До речі, прибутковість другого портфеля навіть трохи підвищилася, так як середній рівень прибутковості по акціях D дорівнює 12%, а по акціях а - 11%.

Аналіз значень ризику розглянутих портфелів показує, що ризик портфеля може бути нижчим, ніж ризики окремих цінних паперів, що входять в портфель; комбінація активів зі слабкою кореляцією знижує ризик портфеля в цілому, а ефективна диверсифікація досягається не просто додаванням активів до портфеля, а додаванням таких активів, доходи яких мають найнижчі рівні кореляції (а краще і негативні) з активами, присутніми в портфелі. На жаль, активів з малої і негативною кореляцією існує зовсім небагато. У цих умовах навіть успішна комбінація акцій в портфелі знижує ризик, але не виключає його повністю.

Оскільки на фондовому ринку обертаються цінні папери сотень і навіть тисяч різних емітентів, існує безліч варіантів комплектування портфеля. Очевидно, що в принципі можна сформувати кілька портфелів, що мають, наприклад, однакову очікувану прибутковість, але при цьому характеризуються різним рівнем ризику.

Тому в теорії портфеля розроблені методи формування ефективних, за визначенням Г. Марковіца, портфелів (рис. 3.18).

Ефективний портфель - портфель, що забезпечує мінімальний ризик при заданому рівні прибутковості (r *) або, навпаки, - найбільшу прибутковість при заданому рівні ризику (σ)).

Мал. 3.18. Основні моделі диверсифікації портфеля активів

В результаті рішення представлених на рис. 3.18 моделей може бути сформовано безліч ефективних портфелів. Важливо при цьому зрозуміти, що не існує єдиного ефективного портфеля, який був би ефективніше всіх інших. Засобами лінійного програмування метод Марковіца пропонує "меню" ефективних портфелів. Як у будь-якого меню, у нього дві сторони: з одного боку, бажання інвестора, з іншого - ціна. Чим вище очікуваний дохід, тим більше ризик. Але кожен з ефективних портфелів цього меню забезпечує максимальний очікуваний дохід для заданого рівня ризику або мінімальний рівень ризику для заданого очікуваного доходу інвестора.

Формалізуючи принцип визначення множини ефективних портфелів, будемо вважати конкретний портфель ефективним, якщо жоден інший портфель НЕ обіцяє:

• 1) такого ж доходу при меншому рівні ризику;
• 2) більш високого доходу при такому ж рівні ризику.

Виконання цих двох правил, званих принципом домінування, дозволяє виділити так звану межу ефективності ЇЇ (рис. 3.19). Всі точки, розташовані на кривій EF і нижче, представляють можливі комбінації доходу та ризику, всі крапки вище кривої EF відповідають нездійсненним комбінаціям. Зокрема, точка В дає комбінацію ризик - дохід, яку не може забезпечити жодна з існуючих інвестиційних можливостей.

Мал. 3.19. Кордон ефективності в портфельному аналізі

Кордон ефективності визначають як набір портфелів, які забезпечують максимальний дохід для кожного заданого рівня ризику або мінімум ризику для кожного заданого рівня доходу. Припустимо, що компанія встановила для себе граничну величину ризику σD. Вибравши портфель D, вона може отримати дохід r D або пересунутися в потрапляє на кордон ефективності точку С і отримати більший за величиною дохід r C при тому ж рівні ризику. Отже, портфель С домінує над портфелем D, йому і віддають перевагу.

Подібні міркування можливі і в термінах ризику. Якщо компанія хоче отримати дохід r D, вона вибере портфель А, оскільки він передбачає отримання такого ж доходу, як в разі вибору портфеля D, однак при меншому рівні ризику (σA <σD).

Інвестор, який приймає рішення, буде, природно, вибирати портфелі, відповідні точкам, лежачим на кривій кордону ефективності (на траєкторії ефективних портфелів). Вигин кривої межі ефективності залежить від кореляції між активами. При коефіцієнті кореляції +1, крива ефективності вироджується в пряму лінію (практично неможливий варіант). Чим нижче коефіцієнт кореляції, тим більше кривизна кордону ефективності.

Далі інвесторам надається можливість вибрати відповідно до своїх уподобань портфель, оптимальний в рамках обраної ними агресивної або оборонної стратегії. Зокрема, так звані "консервативні" інвестори (тобто ті, хто зацікавлений в збереженні своїх капіталів і отриманні постійної і передбачуваною прибутку) будуть віддавати перевагу портфелям, лежачим в більш лівій нижній частині кривої ефективної кордону Марковіца. Більш "агресивні" інвестори (ті, хто йде на більш високий ризик в надії одержати більш високу, по менш певну очікувану віддачу) будуть формувати свої портфелі, що знаходяться у верхній правій частині кривої ефективності Марковіца.

У дусі фон Неймана і Моргенштерна теорія Марковіца пропонує метод максимізації вигоди (користі) для кожного конкретного інвестора. Це єдиний момент, в якому теорія Марковіца має справу з суб'єктивними устремліннями інвесторів. Все інше в ній строго математизированной.